1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Теорема Тейлора. Степенной ряд. Основные разложения

 

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:
image196 (529 bytes)(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

image197 (569 bytes)(2)

где image198 (66 bytes)- произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности, image198 (66 bytes)- окружность image199 (152 bytes)), или по формуле:

image200 (384 bytes)(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

image201 (362 bytes)      image202 (311 bytes)

Основные разложения.

image203 (253 bytes)  (z принадлежит области комплексных чисел);

image204 (458 bytes)  (z принадлежит области комплексных чисел);

image205 (411 bytes)  (z принадлежит области комплексных чисел);

image206 (377 bytes)  (z принадлежит области комплексных чисел);

image207 (337 bytes)  (z принадлежит области комплексных чисел);

image208 (529 bytes)

image209 (383 bytes)

 

 Пример 1. Записать разложение по степеням z функции f (z) = chz.

Найдем производные функции:
f(n) (z) = ch(n)z = chz при n= 2k,
f(n) (z) = ch(n)z = shz при n= 2k-1.

В данном примере z0 = 0. По формуле (3) имеем:
Cn = 0 при n = 2k; Cn= 1/n! при n = 2k-1;
image211 (336 bytes).

Так как chz - аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R равен бесконечности. В результате имеем:
image211 (336 bytes)(z принадлежит области действительных чисел).

 

 

Пример 2. Разложить по степеням (z-3) функцию f(z) = sinz.

Обозначим z-3 = t. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим:
sin(3+t) = sin3 cost+cos3 sint.

Используя основные разложения, имеем:

image212 (932 bytes)

Так как t = z-3, то   

image213 (993 bytes)

т.е.    image214 (363 bytes)

где    image215 (420 bytes)    image216 (441 bytes)

 

Пример 3. Разложить по степеням z функцию    image217 (355 bytes)

Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:

image218 (659 bytes)
Раскладываем элементарные дроби по степеням z:

image219 (452 bytes)

image220 (907 bytes)

image221 (922 bytes)

Для исходной дроби получаем разложение:

image222 (960 bytes)

или, складывая ряды:

image223 (851 bytes)

Окончательный ответ:

image224 (887 bytes)

 

Пример 4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0 функцию

Решение. Воспользуемся стандартным разложением

и продифференцируем данное равенство дважды

,

.

Умножая полученный ряд на z2 получим требуемое разложение

.

Радиус сходимости полученного ряда равен 1.

 

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням zb функцию f(z) = 1/(z2+a2), где a > 0.

Решение. Разложим заданную функцию на элементарные дроби

Для каждой из полученных дробей находим лорановские разложения

,

где c = bia. Аналогично, получаем разложение для второй дроби

,

где d = b + ia. Объединяя оба разложения в один ряд Лорана, окончательно получим

 

 

 

 

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа