1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Дифференцирование функций комплексного переменного

 

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:
image5.gif (1196 bytes)
Здесь
z0, Dz _  комплексные и Df(z0) = f(z0+Dz) - f(z).

Используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости следующих правил дифференцирования.

1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций,  есть функция и справедливы равенства:
image7.gif (1523 bytes)
image8.gif (1473 bytes)

2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция, :
image9.gif (1445 bytes)

3. Сложная функцияf(j (z)) дифференцируема в точке z0, если в этой точке дифференцируема функция j (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u0,
где u0 = j (z0) и u = j (z). При этом в точке z0 имеет место формула:
image10.gif (1209 bytes)

Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента.
Например, рассмотрим функцию  f(z) = z3.
По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:

image17.gif (1960 bytes)

Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и
(z3)' =3z2.
Аналогично можно получить:
(zn)' = nzn-1 (n - действительное число).

 

 

Если f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), т.е. u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z),
то справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей
u(x, y) = Re f(z),   v(x, y) = Im f(z)
и выполняется условие Коши-Римана:

image11.gif (1343 bytes)

2. Если u(x, y)  и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0, y0) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция   f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)  дифференцируема в точке z0 = x0+ iy0.

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

image13.gif (1142 bytes)image14.gif (1146 bytes)image15.gif (1147 bytes)image16.gif (1144 bytes) 

 

Пример 1. Значение производной функции комплексного переменного в точке.
Дана функция  f(z) = z3. Вычислим значение  f ' (z) в точке z0=1+i, ее модуль и аргумент.
Поскольку
(z3)' =3z2, то
f '(z0) = 3z02;   |f '(z0)| = 3| z0|2;   arg f ' (z0) = 2arg z0,
имеем:
image19.gif (1335 bytes)
то
f ' (1+ i) = 3(1+ i)2 = 6i, |f ' (1+ i)| = 6, arg f ' (1+ i) =
p/2.
Иначе:
image20.gif (1332 bytes)

 

Пример 2. Исследование дифференцируемости функции.

Дана функция f(z) = |z|2.
Находим   u(x, y) = Re f(z) = x2 + y2v(x, y) =Im f(z)=0.
Определяем частные производные:
image18.gif (1382 bytes)

Условия Коши-Римана выполняются только при x = y = 0, т.е. в точке
z = 0. Непрерывность частной производной очевидна. Следовательно, функция f(z) = |z|2 дифференцируема только в нуле (в точке z = 0).

 

Пример 3. Исследование дифференцируемости функции, вычисление производной.

Дана функция f(z) = ez.
Из равенства ez = ex (cosy + isiny) находим
u(x, y) = ex cosyv(x, y) = ex siny.
Находим частные производные:
image22.gif (1602 bytes)
Условия Коши-Римана выполняются в любой точке z, принадлежащей комплесной области, и частные производные непрерывны повсюду. Следовательно, функция ez дифференцируема всюду в комлексной области.
Используя найденные частные производные, записываем производную функции:
image23.gif (1675 bytes)

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа