1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа. Комплекснозначная функция f(t), tÎ(-¥,¥) называется оригиналом, если

1)      f(t)=0 при t<0

2)      в "(a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица

|f(t+h)-f(t)|£A|h|a, для всех h,|h|£h0, a£1 на интервалах непрерывности функции

3)      $M $s "t: |f(t)|£Mest  (*)

Число , S – множество тех s, для которых выполенно условие (*), называется показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

является оригиналом нулевого показателя роста.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+is, определяемую равенством

Пишут F=L[f], F ¸ f, f ¸ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций: ,

Свойство линейности af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p).

Свойство подобия. При a>0

Свойство запаздывания. Для t>0 f(t-t)¸e-ptF(p).

Дифференцирование изображения F(n)(p)¸(-1)ntnf(t).

Дифференцирование оригинала f¢(t)¸pF(p)-f(0).

Следствие. f(n)(t)¸pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f¢(0)-…-f(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)¸F(p), Re p > s0 и - оригинал, то

Интегрирование оригинала.

Если f(t)¸F(p), Rep > s0, то

Свертка оригиналов и умножение изображений.

Свертка определяется по формуле . Отметим, что f*g=g*f. f*g¸F(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

Умножение оригиналов, свёртка изображений

 

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

af(t)+bg(t)¸aF(p)+bG(p)

a>0 ,

t>0, f(t-t)¸e-ptF(p)

  F(p-l)¸eltf(t)

 

f’(t)¸pF(p)-f(0),

f(n)(t)¸pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0)

 

 

 

Таблица некоторых преобразований Лапласа

 

 

Оригинал

Изображение

 

Оригинал

Изображение

1

ta (a>-1)

11

ch wt

2

e-lt

12

3

e-lt ta (a>-1)

13

4

sin wt

14

5

cos wt

15

6

tn sin wt

16

7

tn cos wt

17

8

e-lt sin (wt+a)

18

9

e-lt cos (wt+a)

19

10

sh wt

20

 

 

Пример 1. x¢¢+a2x=bsinat, общие начальные данные x0, x1,

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим , откуда

  Окончательно

 

 

Пример 2. x¢¢¢+3x¢¢+3x¢+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1)3X(p)=1/p,. Откуда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

Пример 3. x¢¢¢+x=1, нулевые начальные условия.

,

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим . По второй теореме Хевисайда

=

Пример 5. x’’+w2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает Окончательно

 

Пример 6.

x¢+ax=f(t), нулевые условия

 

 

 

 

 

ТФКП - теория и функция комплексного переменного

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа