1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Оглавление

10.2. Извлечение корня квадратного из +1.

Рассмотрим уравнение в комплексной плоскости , где - комплексное число.

Пусть , тогда имеем равенство , следовательно, учитывая периодичность аргумента , будем иметь

откуда следует и аргумент

и , где Уравнение имеет n различных корней.

При имеем

В тривиальном случае имеем два корня . Таким образом, единица и ее корни лежат на действительной оси. Так что формула извлечения корня в комплексной области не вполне согласована для этого случая.

В связи с этим рассмотрим вариант, когда единица представлена произведением сомножителей

Равенство аргумента нулю также соблюдено

В этом случае по формуле извлечения корня будем иметь

Таким образом, вместо двух корней имеем один. Чтобы получить два разных корня, необходимо при извлечении корня в одном из сомножителей взять , в другом . Тогда

Но эта операция равносильна введению новой мнимой единицы

В этом случае

Извлечение корня выводит в пространство чисел.

Таким образом, извлечение корня в пространстве дает два корня

От принятого порядка обозначения мнимых единиц результат не зависит, что и обосновывает коммутативность произведения мнимых единиц.

При этом аргумент состоит из суммы двух аргументов . Циклическая периодичность этого аргумента соответствует прибавлению к нему комплекса

Таким образом, доказаны два основных положения. Рассмотрим третье положение.

[Следующий параграф]