Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Оглавление

1.2.2.A. Степенная функция

Функции и где n - любое целое положительное число, определены во всем пространстве (Y).

Функция n n в пространстве (n ) за вычетом e -туннеля дискретных точек представима в следующих выражениях:

(1.31.)

откуда

,

где величина y и соответственно q могут быть комплексными.

Можно воспользоваться формулой (1.6), тогда

и соотношения запишутся в виде:

(1.32.)

где все параметры действительны.

Соотношения (1.31.), (1.32.) показывают, что отображение, осуществляемое функцией n n, сводится к повороту всех углов f , y , s на угол (n-1) argn и растяжению радиуса вектора в раз.

В трехмерном пространстве можно записать

Полученные соотношения не отличаются от формул (1.31.) с той лишь оговоркой, что y и q - действительные числа. В этом случае поверхность пространственного сектора на сфере r радиуса, ограниченная условиями

отображается на поверхность сферы радиуса, в раз большего, и охватывает всю поверхность сферы (рис. 14).

Pic14.gif (18309 bytes) Рис. 14. Отображение пространственного сектора в полное пространство

Рис. 14. Отображение пространственного сектора в полное пространство

Для однозначного отображения выкалывается ось, действительная в положительном направлении.

Докажем, что функция n n аналитична в пространстве (n ). Раскроем предел (1.21.)

Таким образом, для любого n существует предел и функция аналитична. Проверим условия дифференцирования функции на ее частном виде n 2.

В цилиндрических координатах трехмерного пространства имеем

откуда

Проверяем условия дифференцирования в форме (1.26.):

Определяем производную

Таким образом, табличная производная осталась без изменения.

В цилиндрических координатах четырехмерного пространства проверяем условия дифференцируемости в формах (1.28.), (1.29.):

Отделение комплексных частей дает:

В соответствии с условиями (1.28.), (1.29.) имеем:

Определяем производную:

Таким образом, табличная производная осталась в силе.

Функция n n определена на выколотой оси, то есть в дискретных точках делителей нуля

Если

то

По-прежнему имеем

Функция является обратной функции n n.

Если

то

Соотношения, определяющие отображения, имеет вид:

Однако для этих отображений необходимо определить периодичность изменения аргументов f , y . На этом остановимся после интегральных теорем.

Для однозначных ветвей для функции существует табличная производная

 

(1.33.)

Функция определена и в делителях нуля. Формально можно провести операции

При операциях с такими комплексами необходимо следить за порядком нуля н коэффициентом перед изолированным аргументом.

[Следующий параграф]