Онлайн-гипермаркет 
лучших товаров для детей

Онлайн-гипермаркет лучших товаров для детей

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Сервис для выполнения любых видов студенческих работ

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Препод тоже хочет заработать

Препод тоже хочет заработать

Заказ контрольной работы

Заказ контрольной работы

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Курс лекций по высшей математике начало


Метод секущих

В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$. Тогда формула итераций оказывается очень проста:

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $ f(x)$.

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $ f'$ и $ {\lambda}_0$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $ (x_i;f(x_0))$ на графике $ y=f(x)$ с угловым коэффициентом $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$. Тогда уравнением этой прямой будет

$\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$

Дифференциальные уравнения Задача . Найти общее решение дифференциального уравнения .

Найдём точку пересечения этой прямой с осью $ Ox$ из уравнения

$\displaystyle f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i)=0,$

откуда $ x=x_i-{\lambda}_0f(x_i)=x_{i+1}$. Следовательно, эта прямая пересекает ось $ Ox$ как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки $ x_0$, через соответствующие точки графика $ y=f(x)$ проводятся секущие с угловым коэффициентом $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ того же знака, что производная $ f'(x_0)$. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция $ f(x)$ или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных $ x_i$, имеют один и тот же угловой коэффициент $ k$ и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью $ Ox$.

Рис.9.11.Последовательные итерации метода секущих


На чертеже слева изображены итерации при $ f'(x)>0$, в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}<f'(x_0)$ и в случае $ k=\dfrac{1}{{\lambda}_0}>f'(x_0)$. Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка $ x_i$ уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня $ x^*$, и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки $ x_i$ приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него. (Исследуйте сами, как выглядит процесс в случае $ f'(x)<0$, то есть когда функция $ f(x)$ убывает.)

Достаточное условие сходимости, которое нам даёт теорема 9.3, таково:

$\displaystyle \vert{\varphi}'(x)\vert=\vert 1-{\lambda}_0f'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1.$

Это неравенство можно записать в виде

$\displaystyle -{\gamma}+1\leqslant {\lambda}_0f'(x)\leqslant {\gamma}+1,$

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,

$\displaystyle {\lambda}_0f'(x)>0,$

так как $ -{\gamma}+1>0$ (тем самым проясняется смысл выбора знака числа $ {\lambda}_0$), а во-вторых, когда $ {\lambda}_0f'(x)<2$ при всех $ x$ на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

$\displaystyle \vert k\vert=\dfrac{1}{\vert{\lambda}_0\vert}>\dfrac{M_1}{2},$

где $ M_1=\max\limits_{x}\vert f'(x)\vert$. Таким образом, угловой коэффициент $ k$ не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка $ x_1$ может выскочить из рассматриваемой окрестности корня $ x^*$, и сходимость итераций к корню может быть нарушена.
Назад Метод простых итераций
Наверх: Приближённое нахождение корней уравнений
Вперед: Метод одной касательной

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа