Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные
системы координат:
("старая") и
("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны
и одинаково направлены (рис. 12.19)
Рис.12.19.Параллельный
перенос системы координат
В этом случае говорят, что одна
система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пусть начало
"новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты
, и пусть
-- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки
в "старой" системе координат
, а в "новой" --
. Из рис. 12.19 ясно, что
,
. Откуда
,
. Так как точка
взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых",
можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при
параллельном переносе осей координат:
Математика ТФКП примеры решения задач Вычислить интегралы от функции комплексного
переменного:
(12.11)
Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой
в "старых" и "новых" координатах.
Предложение
12.6Пусть
некоторая кривая задана уравнением
. Тогда в системе координат
, полученной параллельным переносом, с началом в точке
уравнение кривой будет иметь вид
.
Однако, для практического использования
это предложение удобнее сформулировать немного подругому.
Предложение
12.7Пусть
некоторая кривая задана уравнением
. Тогда в системе координат
, полученной параллельным переносом, с началом в точке
уравнение кривой будет иметь вид
.
Доказательство обоих предложений
очевидным образом следует из формул (12.11)
связи между старыми и новыми координатами.
Пример
12.7 Нарисуйте
кривую
и найдите ее фокусы.
Решение. Выделим полные квадраты по переменным
и
(см. пример 12.1):
Откуда
Разделим обе части на 9:
Введем новую систему координат с началом в точке
, получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению
12.7 получим, что кривая задается уравнением
а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем
рисунок (рис. 12.20).
Рис.12.20.Эллипс,
заданный уравнением
Из формулы (12.5)
. Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты
,
. Используя формулы (12.11),
находим старые координаты фокусов
,
. Таким образом, фокусами являются точки
,
.
Пример
12.8 Постройте
параболу
найдите ее фокус и директрису.
Решение. Преобразуем уравнение
к виду
и выделим полный квадрат по переменному
:
Из этого уравнения получим
. Произведем параллельный перенос осей координат:
,
, новое начало координат --
. В новых координатах уравнение параболы примет вид
, которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат
и переобозначим оси:
,
, то получим уравнение
. Это уравнение -- каноническое,
,
. Строим оси и параболу (рис. 12.21).
Рис.12.21.Парабола,
заданная уравнением
В системе координат
фокус имеет координаты
, а директриса задается уравнением
. В системе координат
координаты фокуса --
, а уравнение директрисы
. Наконец, в исходной системе координат
получим фокус
и уравнение директрисы
, что и служит ответом к задаче.
Пример 12.9
Постройте кривую
Решение. Преобразуем уравнение к виду
(12.12)
Возведем обе части в квадрат:
При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему
уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12).
Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному
:
то есть
Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы
координат:
,
. Получим уравнение
которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и
. Нарисуем его (рис. 12.22).
Рис.12.22.Эллипс,
заданный уравнением
Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении
в квадрат, преобразуем уравнение (12.12)
к виду
Из этого уравнения видно, что
. Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину
(рис. 12.23).