Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7
1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

Тепловое излучение Квантовая физика

Стоячая волна

Как и всякая другая волна, электронная волна Y(x,t) может быть стоячей волной. Для этого нам необходимо сложить две волны с одинаковыми амплитудами, движущиеся навстречу друг другу:

 

.

 

Волна как волна, с узлами и пучностями, но вместо, скажем, закрепленных концов струны в точках с координатами x=-l/2 и x=+l/2 нам при значениях координат x£-l/2 и x³+l/2 нужно иметь U=¥ - правее и левее выделенного интервала возможно решением будет . Используя условие непрерывности Y-функции, можно определить значение (комплексной) амплитуды y0.

Для простоты внутри интервала будем считать U=0. Ведь потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы.

Для существования стоячей волны необходимо выполнение условия  и, следовательно, при U=0 будет:

 

;       .

 

Мы получили весьма важный результат: электрон в состоянии стоячей волны может иметь лишь вполне определенные дискретные значения энергии En. Энергия электрона квантуется! И при этом минимальное значение его энергии определяется линейными размерами потенциальной ямы, что существенно для дальнейшего.

 

 

 

 

 

 

 

 

   0                                                                  x

U=¥             U=0               U=¥        U=0      U=¥   U=0

 

 

 

Любопытно провести такое исследование полученного результата. Подсчитаем силу, с которой электрон действует на стенку потенциальной ямы.

Очевидно,

 

.

 

А теперь попробуем получить выражение для силы Fx на основе корпускулярных представлений. При отражении электрона от стенки последней будет передан импульс 2p. При этом частота ударов определяется временем движения электрона между ударами

 

.

 

Выражение для силы мы получим, если разделим переданный импульс на это время:

.

 

Мы получили для силы то же значение, но это не означает, что в этой задаче волновой и корпускулярных подходы равноправны. При корпускулярном рассмотрении энергия электрона E произвольна, при волновом - она квантуется.

Поэтому, хотя волновое представление для нас, может, в чем-то не до конца понятно, корпускулярное представление следует назвать просто непонятным. При его использовании мы не сможем объяснить квантование энергии электрона.

 

К задаче о стоячих волнах Y-функций мы еще вернемся, а сейчас просто необходимо поговорить о смысле этой функции.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа