Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7
1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

Учебник физики, раздел Оптика

Закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина

Мы с Вами получили связь между плотностью лучистой энергии и испускательной способностью абсолютно черного тела

 

 

и формулу Планка для плотности энергии

 

.

 

Это позволяет нам записать выражение для испускательной способности абсолютно черного тела:

.

 

Это выражение также называют формулой Планка. С ее помощью можно получить закон Стефана-Больцмана - связь энергетической светимости абсолютно черного тела с температурой:

 

.

 

Произведем замену переменной: введем . Тогда выражение для энергетической светимости примет вид:

 

.

 

Интеграл в правой части выражения равен . Таким образом,

 

;        .

 

Величина  называется постоянной Стефана-Больцмана и ее значение, подсчитанное с помощью формулы Планка, весьма точно совпадает с определенным экспериментально.

Закон смещения Вина связывает температуру и длину волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела:

 

;        .

 

 Чтобы получить выражение для b, нужно исследовать функцию

 

 

на экстремум. Принципиальных проблем в этой связи  не возникает, но вычисления оказываются достаточно громоздкими. И тем не менее, учитывая огромную важность формулы Планка, нам следует заняться этими вычислениями.

Прежде всего перейдем в функции  от переменной  к переменной . Проследите внимательно за выкладками:

 

 

 

.

 

Мы ввели обозначение . Поскольку

 

,

 

 

мы получаем не такое уж сложное выражение:

 

 

.

 

Теперь займемся дифференцированием. Нам необходимо решить уравнение

 

;

 

.

 

Решить это уравнение “напрямую” нам не удастся. Поэтому перепишем его в виде

 

 

и решим методом последовательных приближений, в данном случае весьма эффективным.

В качестве нулевого приближения напрашивается значение . Тогда

;

       ;

       .

 

Ограничившись четырьмя знаками после запятой, получаем:

 

;

 

;         .

 

Полученное нами значение b очень хорошо совпадает с экспериментальным значением.

 

Сами законы Стефана-Больцмана и закон смещения Вина были установлены раньше, чем была получена формула Планка. То, что из нее были затем получены верные значения констант  и b, явилось блестящим подтверждением верности тех представлений, которые были заложены при ее получении. Но смысл этих представлений нам еще нужно осознать.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа