Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7
1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

Учебник физики, раздел Оптика

 

Закон преломления света Скорость света в веществе

Мы с Вами убедились в свое время, что из уравнений Максвелла следует волновое уравнение. Электромагнитные волны с длиной волны примерно в пределах 0,4  0,7 мкм, воспринимаемые глазом, называют светом. И среди множества веществ есть такие, в которых свет может распространяться без заметного уменьшения амплитуды электромагнитных колебаний, прозрачные вещества. Однако, скорость света в веществе отличается от скорости света в вакууме, выражение для которой  мы в свое время получили. Повторим теперь проведенные ранее преобразования уравнений Максвелла, но теперь не для вакуума, а для некоторого вещества.

Выпишем уравнения Максвелла для случая отсутствия свободных зарядов и токов проводимости:

 

 

Мы будем также использовать выражения

 

,

 

считая вещество однородным.

 

Как и раньше, ограничимся случаем плоской волны, когда электрическое и магнитное поля зависят от одной  координаты - от координаты x, т.е. в последующих выражения из производных по координатам отличны от нуля только производные по x:

 

.

 

Как видно из этого уравнения, . Это означает, что x - составляющая магнитного поля не зависит от времени. Положим ее равной нулю, поскольку стационарное поле (магнитное как и электрическое) к распространению волны отношения не имеет.

Далее, вектор  имеет некоторое направление, и если мы вдоль этого направления направим ось 0Z, то будет  и, следовательно,  (см. уравнение). Таким образом,

.                        (*)

Аналогично получим

 

;

(поскольку ) и

 

.                     (**)

 

Продифференцируем уравнение (*) по координате x, а уравнение (**) по времени:

 

.

 

Тогда

.

 

Мы получили волновое уравнение, и скорость распространения света в веществе . При распространении световой волны с большой степенью точности можно считать  = 1, и скорость света в веществе . Таким образом, для нахождения значения скорости v необходимо знать значение диэлектрической проницаемости .

Заметим, что на больших частотах, характерных для световой волны, значение  существенно отличается от стационарного, которое входит в уравнения электростатики, и - зависит от частоты. Соответственно, от частоты зависит и (фазовая) скорость распространения световой волны в веществе. В таком случае говорят, что вещество обладает дисперсией.

Самым существенным, что происходит при взаимодействии поля  с веществом, это “подвижка” электронов, поляризация молекул. При этом поляризованность оказывается пропорциональной полю, что свидетельствует о квазиупругом характере действующих на электрон “возвращающих” сил. Поэтому при взаимодействии электронов со световой волной будет:

 

.

 

Этому уравнению удовлетворяет решение вида . Подставив x в уравнение, получим:

 

;        .

 

Итак, при смешении под действием электрического поля волны на электрон образуется диполь с моментом p = ex. Обозначив через N  концентрацию электронов, мы получим такие выражения для поляризованности , для поляризуемости вещества  и диэлектрической проницаемости :

;

;      .

 

В зависимости от соотношения между  и 0 и от величины N величина  больше или меньше единицы и даже отрицательной. Соответственно мы должны сказать, что скорость света в веществе

 

 

будет либо меньше скорости света в вакууме, либо больше ее, либо мнимой. Эти возможности нам нужно будет обсудить более подробно. А пока сделаем одно уточнение.

В каком-то конкретном веществе входящие в атомы электроны могут иметь различные частоты свободных колебаний 0k, разными могут быть и их концентрации Nk. Все они будут вносить свой вклад в поляризованность вещества и, соответственно, в величину . поэтому в более общем случае выражение для скорости волны запишется в виде

 

.

 

Таким получается выражение для фазовой скорости волны в веществе.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа