1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Задачи по курсу Ядерная и нейтронная физика

Задача 3.6 Получить формулу (3.6).

Решение

Из формулы (3.3) получаем выражение для вычисления энергии реакции:

Q = T2T1 =M1M2,

(3.6.1)

где Т1 = Tа + TА и М1 =  mа + МА, Т2 = mb + МB и М2 = mb + МB, – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции, которое имеет место в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Та)пор налетающей частицы а (частица А покоится!) в ЛСК, при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равна нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е2Р2с2 = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М +Т и Р – полная энергия и импульс произвольной системы тел, взаимодействующих только между собой. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Та)пор в ЛСК:

inv = [M1+ (Та)пор]2 - ,

(3.6.2)

но

+ mа2 == [mа + (Та)пор]2,

откуда

= + 2mа·(Та)пор.

Подставляя полученное выражение в (3.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv = M12 + 2 Mа2·(Та)пор.

(3.6.3)

Инвариант для частиц с энергией покоя М2, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, в СЦИ будет равет:

inv = M22 ,

(3.6.4)

так как их кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Та)пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Та)пор= (M22 - M1)2/ 2MАс2=

= (M2 - M12) (M1+ M2) / 2MА=

=  (M2 - M1) (M1+ M2 + M1 - M1)/ 2MА =

 = (M2 M1) [2M1+ (M2 - M1)]/2MА =

= |Q| +,

(3.6.5)

так как согласно (3.6.1) (M2 M1) = |Q|. Второе слагаемое в (3.6.5) при |Q| < 100 МэВ ничтожно мало по сравнению с первым, и поэтому

(Та)пор|Q|.

(3.6.6)

Однако оно становиться значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу, используя законы классической (не релятивистской) механики. Законы сохранения энергии и импульса при пороговом значении кинетической энергии налетающей в ЛСК частицы а:

(Та)пор|Q|+ Т2;

(3.6.7)

Ра = Р2.

(3.6.8)

Т2 и Р2 определяют движение центра инерции образовавшихся частиц, так как их взаимная кинетичечкая энергия равна нулю при Та = (Та)пор. Используем классическую связь между импульсом и кинетической энергией

,

(3.6.9)

так как полагаем, что зависимостью массы системы от скорости можно пренебречь и поэтому скорости движения частиц много меньше скорости света. Действительно, даже если кинетическая энергия (Та)пор налетающей частицы а полностью переходит во внутреннюю энергию и изменяет массу системы, то

ΔМ = М2М1 ≤ (Та)пор,

так как (Та)пор << М1, при энергиях налетающих частиц менее 100 МэВ. Поэтому, при кинематических расчетах в нерялитивистском случае можно считать, что

М2 = М1.

(3.6.10)

Тогда, из (3.6.1), (3.6.8) и (3.6.9) получаем

(Та)пор |Q(Та)пор =  

(3.6.11)

Или, учитывая (3.6.10),

(Та)пор  =  .

(3.6.12)

Полученная формула (3.6.12) является приближенной и ее отличие от точной формулы (3.6.5) вызвано пренебрежением релятивистским изменением массы.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа