1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Основные постулаты квантовой механики


ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Стационарные состояния осциллятора 

 В рассматриваемом случае ГО из рекуррентных соотношений следует, что четность  совпадает с четностью :

.

Полагая , получим четные собственные функции, а при  - нечетные.

 Нормированные волновые функции стационарных состояний ГО имеют вид (их вывод мы дадим ниже простым алгебраическим методом):

.

Здесь введены полиномы Эрмита:

.

В частности,

.

 Покажем теперь, что ненулевое минимальное собственное значение энергии осциллятора   прямо следует из соотношения неопределенностей. В стационарных состояниях   в силу определенной четности волновых функций, и СН принимает вид

.

Поэтому для энергии в таких состояниях имеем:

.

Условие минимума функции дает:

.

В результате

,

как и должно быть.

 Как уже отмечалось, ГО моделирует колебания атомов в кристаллической решетке. Фундаментальный вывод квантовой механики о том, что в основном состоянии осциллятора энергия , был подтвержден в экспериментах по рассеянию рентгеновского излучения в кристаллах при низких температурах (R.W. James, E.M. Firth, 1927). В отсутствие колебаний решетки (как это следует из классической теории в пределе нулевой температуры) рассеяния бы не было, но эксперимент его обнаружил. При этом экстраполяция результатов к нулевой температуре показала, что интенсивность рассеяния имеет конечный предел.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа