1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Основные постулаты квантовой механики


Условия одновременной измеримости наблюдаемых

 Рассмотрим условия, при которых две наблюдаемых  и могут быть одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии они имеют определенные значения. Тогда, как мы уже знаем, вектор состояния должен быть собственным для операторов  и :

.

Предположим, что  образуют полную систему собственных векторов. Тогда для произвольного вектора состояния

имеем

.

Ввиду произвольности  получаем операторное равенство

,

т.е. наблюдаемые должны коммутировать.

 Это утверждение обобщается на случай произвольного (смешанного) спектра и представляет собой известную теорему из функционального анализа: если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов, то они коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если , то операторы  и  имеют общую систему собственных функций.

 Определим полный набор коммутирующих наблюдаемых :

 1) операторы  попарно коммутируют, ; ;

 2) ни один из операторов  не является функцией от остальных;

 3) любой оператор, коммутирующий со всеми , есть функция от этих
операторов.

 Из изложенного выше следует,что существует общая полная система

собственных векторов полного набора наблюдаемых:
.

Поэтому произвольный вектор состояния может быть представлен в виде
,

причем есть вероятность получить в результате одновременного измерения наблюдаемых  значения .

 Таким образом, состояние системы в квантовой механике можно задать полным набором значений наблюдаемых. Их число называется числом степеней свободы системы. В общем случае оно определяется из опыта. В частных случаях это число совпадает с числом степеней свободы соответствующей

классической системы.
Полный набор наблюдаемых может быть задан многими способами. Его фиксация  определяет некоторое представление пространства состояний квантовой системы функциями

,

определенными на спектре операторов . Функция  называется волновой функцией системы в данном представлении.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа