Аналит. геометрия | Диф. уравнения | Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Примеры решения задач Термодинамика

Пример 1. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.}

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

n=n₀e^-U/(kT).  (1) Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то

n=n₀e^-mgz/(kT) (2)

По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

dп= —п₀e^-mgz/(kT)dz.

Так как п₀e^-mgz/(kT)=n, то

dn= -ndz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

Dz =.

Подставим в эту формулу значения величин Dn/n=0,01, k=1,38×10^-23 Дж/К, T=300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

Dz=4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10^{-18 г) очень быстро изменяется с высотой.}