Курс лекций математического анализа

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика
Математика решение контрольной
Лекции и задачи 1 семестр
Лекции и задачи 2 семестр
Лекции и задачи 3 семестр
Лекции и задачи 4 семестр
Интегралы задачи с решением
Неопределенные интегралы
Метод интегрирования по частям
Курсовой (типовой ) расчет
(задания из Кузнецова)
Математический анализ
Производные и дифференциалы
Вычисление двойного интеграла.
Примеры решения задач по теме
Матрица, функции
Примеры решения задач
контрольной за первый курс
Ряды
Функции
Аналитическая геометрия
Дифференциальные уравнения
Элементарная математика
Поверхности второй степени
Пределы и числовые ряды
ТФКП
Билеты к экзамену
Компьютерная математика Mathematica
Матричная лаборатория MATLAB
Символьная математика Maple
Физика примеры решения задач
Строение атомных ядер
Модели атомных ядер
Ядерные реакции
Электростатика
Механика
Термодинамика
Конденсаторы
Оптика
Радиоактивность
Фотометрия
Квантовая механика
Задачи по ядерке
Радиоактивный распад
Задачи на распад
Взаимодействие нейтронов
Ядерные реакции
Деление и синтез ядер
Нейтронная физика
Квантовая физика
Прикладная математика
Электромагнитное
взаимодействие
Электрическое поле
Фотоны
Электромагнетизм
Дозиметрия
Термодинамика
Атомная энергетика
Быстрый реактор со свинцовым теплоносителем (БРЕСТ-1200)
Авария на ЧАЭС
Физика ядерного реактора
Поглощение электромагнитного излучения в веществе
Радионуклиды в организме человека
Атомные станции
Предотвращение загрязнения окружающей среды выбросами АЭС
Атомная энергетика в странах мира
Атомные реакторы
Атомные станции теплоснабжения
Ядерные двигатели для транспорта
Ядерные двигатели для авиации
Космические ядерные двигатели

Физика атомного ядра и элементарных частиц

Электротехника и электроника
Основы электротехники
Исследование полевых транзисторов
Полупроводниковые выпрямители
Исследование стабилитронов
Курсовые по электронике
Низкочастотный RC- генератор
Выбор мощности электродвигателей
Рассчитать каскад транзисторного усилителя напряжения
Биполярный транзистор
Расчёт электрических фильтров
Расчет управляемых тиристорных выпрямителей
Расчет однофазного трансформатора
Начертательная геометрия
Выполнения заданий контрольной работы
Позиционные задачи
Метрические задачи
Сопромат
Испытание на сжатие
Расчет на прочность и жесткость

Задачи курса сопротивление материалов

Эротика в искусстве
Альдегревер. Ночь. Гравюра
Вакханка. Французская литография
Виккарио. Сластолюбивый фавн
Гравюра. Шабаш ведьм
Информатика
Windovs server
Linux

 

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов. Итак, исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится лишь сумма ряда.

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса.

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Если рассматривать функциональный ряд , составленный из определенных на множестве  функций, то под его поточечной сходимостью понимается поточечная сходимость последовательности его частичных сумм.

Выше мы видим, что поточечный предел последовательности непрерывных функций может оказаться разрывной функцией.

Чтобы избежать подобных неприятностей, рассмотрим более сильное понятие равномерной сходимости.

Условная сходимость. Теорема Лейбница. Существуют также условно сходящиеся ряды. Простейшим примером служит знакочередующийся ряд . Он не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд  расходится.

Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование ряда.

Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого являются непрерывными функциями, есть непрерывная функция.

Доказательство. Применим предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование.

Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен  при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем  (по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Разложение элементарных функций в степенные ряды. Разложения для   позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера. Сначала дадим необходимые определения.

Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости. Функции на отрезке   образуют (бесконечномерное) векторное пространство (сумма функций и произведение функции на число – это снова функция).

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение .

Поэтому сформулированная выше теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку  проходит единственная непродолжаемая интегральная кривая.

Перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений, для которых можно в явном виде получить их решения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Уравнения вида .

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Уравнения, не разрешенные относительно производной. Общее уравнение первого порядка  можно пытаться решать разными методами.

Во-первых, можно попытаться все-таки его решить и свести исходное уравнение к одному или нескольким уравнениям вида

Дифференциальное уравнение n -ного порядка. Задача Коши для уравнения . Понижение порядка дифференциального уравнения. Методы понижения порядка уравнения. Существуют разные методы снижения порядка (и, тем самым, некоторого упрощения) уравнения. Мы изложим здесь самые простые.

Линейное дифференциальное уравнение n -ного порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения. Множество решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) представляет собой векторное пространство.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского. Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

Любые   линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения -ного порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.

Метод вариации постоянных. Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение. Таким образом, функция   удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда  удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4)

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения  (1) достаточно знать фундаментальную систему решений  однородного уравнения  (2) и найти хотя бы одно решение  неоднородного уравнения. Тогда любое решение  неоднородного уравнения имеет вид: , где   - произвольные постоянные.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа