Курс лекций математического анализа

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

 

 

Содержание

Функции функцией общего вида будет любая функция, область определения которой не симметрична относительно оси координат.

Последовательность. Отметим, что ограниченная последовательность может быть расходящейся (т.е. не иметь конечного предела), если же последовательность сходится (имеет конечный предел), то она непременно ограничена. Таким образом имеет место теорема.  

Гиперболические функции Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.

Пределы и непрерывность функции Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.

Свойства функций Если один из концов промежутка находится в конечной точке  и эта точка  промежутку, то непрерывность функции в т.  следует понимать в одностороннем смысле.

БМФ и их свойства Т.к. функция, имеющая конечный предел при некотором стремлении ограничена в некоторой окрестности этого стремления, то произведение такой функции на БМФ при том же стремлении есть БМФ при том же стремлении. В частности, если эта функция сама является БМ то заключаем, что произведение двух БМ есть БМ. Этот последний результат легко обобщается по индукции на любое конечное число сомножителей.

Два замечательных предела

Показательно-степенная функция

Теоремы об эквивалентных б.м.

Примеры применения теорем Свойства функций непрерывных на отрезке. Непрерывность обратной функции. Функции, непрерывные на отрезке обладают рядом свойств, которые, вообще говоря не присущи функциям непрерывных на других промежутках.

Геометрический смысл производной Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Правила дифференцирования обратной функции

Логарифмическое дифференцирование Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей. Дифференцирование неявной функции. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y.

Теорема Тейлора Остаточный член называется остаточным членом в форме Пеано, а формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется локальной формулы Тейлора.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Локальная формула Тейлора-Маклорена позволяет эффективно исследовать поведение функции в окрестности данной точки, в частности вычисляя запишем ее для элементарной функций + (асимптотическое разложение)

Теоремы об возрастании и убывании дифференцируемых функций. Экстремумы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Основы математического анализа