1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Курс лекций по высшей математики Оглавление

Элементы высшей алгебры.

Основные понятия теории множеств. 

 Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.

а ΠМ

 

 Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

 Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается Æ.

 

 Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

 

 

 

 Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

 

 Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

 

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

 

 

Операции над множествами.

 

 Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

 Обозначается С = А È В.

 Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

 Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

 Обозначение С = А Ç В.

 

 

 Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

 

А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;

 

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);

 

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);

 

A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;

 

Æ = А; A Ç Æ = Æ;

 

 

 Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Обозначается С = А \ В.

 

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

 Обозначается А D В. 

 

 

А D В = (A \ B) È (B \ A)

 

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.

 

 Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

 

A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;

 

A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);

 

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);

 

(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);

 

A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);

 

(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);

 

A È CEA = E;  A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;

 

CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;

 

 

 Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

 

 Из записанных выше соотношений видно, что

 

Æ= A \ В

 

 Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

 

 

 Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

 

 Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

 Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

 Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

 Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

 Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число. Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Интегралы - лекции, задачи с решениями