1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика |

Курс лекций по высшей математики Оглавление

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность. 

  Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn} 

  Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Линейные уравнения

 

  Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

  {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3)      Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4)      Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности. 

  Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

 

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 

  Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

 

xn £ M.

 

  Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

 

xn ³ M

 

  Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 

 

  Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

 

Это записывается: lim xn = a.

  В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

 

  Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

 

  Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

 

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

 

  Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 

  Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 

  Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 

  Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® ba ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

 

  Теорема. Если xn ® a, то .

 

  Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

 

, т.е.   , т.е. . Теорема доказана.

 

 

  Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

 

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 

  Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой). Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач Интегралы - лекции, задачи с решениями