Преобразование комплексного чертежа Графический способ задания поверхностей Способ вспомогательных секущих сфер примеры на построение точек пересечения линии с поверхностью

Начертательная геометрия Задачи и примеры

Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного проецирования. При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.

Графический способ задания поверхностей предполагает задание поверхности на комплексном чертеже. При этом, как уже было сказано выше, поверхность считается заданной, а ее чертеж – метрически определенным, если по одной проекции точки, лежащей на поверхности, можно построить другую ее проекцию. Чаще всего поверхность задается на чертеже проекциями элементов своего определителя, т.е. тех геометрических объектов, с помощью которых поверхность была образована. Алгоритмическая часть определителя поверхности переводится при этом в алгоритм графических и аналитических операций, которые необходимо осуществить над проекциями элементов определителя, чтобы построить проекции произвольных точек или линий поверхности. Однако наглядность такого чертежа поверхности очень низкая. Для улучшения наглядности чертеж поверхности приходится дополнять проекциями наиболее характерных или важных точек и линий поверхности, в том числе очерковыми линиями ее проекций. Очерковыми линиями (или очерком) проекций поверхности называются линии, ограничивающие области ее проекций (рис.9.3).

Рис.9.3

Часто поверхность задается на чертеже некоторой совокупностью ее точек (называемой точечным каркасом поверхности) или линий (линейный или сетчатый каркас). Например, поверхность, образованная кинематическим способом, может задаваться на чертеже проекциями семейства направляющих линий и семейства образующих линий. Однако в этом случае поверхность будет не вполне определена, так как между точками и линиями каркаса поверхность не задается. Поэтому построить промежуточные точки и линий поверхности можно лишь приближенно. Для придания однозначности чертежу поверхности обычно пользуются одним из двух способов:

1. Задается алгоритм графических операций перехода от заданных линий каркаса к промежуточным линиям.

2. С помощью аналитических методов аппроксимации и какого-либо класса моделирующих функций рассчитывают математическую модель поверхности, содержащую заданные точки и линии каркаса. Эту модель в дальнейшем используют для получения промежуточных точек и линий. Однако нужно иметь в виду, что точность результата во многом определяется выбранным классом моделирующих функций.

Графоаналитический способ. При этом способе задания поверхности часть линий (например, образующая поверхности) может задаваться аналитически в виде уравнения

где – параметры образующей, а направляющие линии задаются графически, в виде графиков изменения параметров  в зависимости от значения третьей координаты z (рис.9.4). Тогда при необходимости получения положения некоторой образующей для  определяют сначала значения параметров , которые затем подставляются в уравнение образующей.

Рис.9.4

4. Классификация поверхностей

  В учебных целях поверхности классифицируются по двум признакам: по виду образующей и по закону движения образующей линии (рис.9.5).

Рис.9.5

Кривые линии на комплексном чертеже В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям на комплексном чертеже. Положение точки, описывающей при своём движении некоторую кривую, определяется в любой момент движения двумя её проекциями. Поэтому в общем случае для полного графического задания кривой линии на комплексном чертеже необходимо задать две проекции этой линии (как правило, обе проекции являются кривыми линиями). В частном случае (когда кривая плоская) одна из проекций кривой может быть прямой линией.

  Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Элементами многогранника являются вершины, ребра и грани. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Правильным называется многогранник, грани которого являются правильным многоугольником. Всего существует пять правильных выпуклых многогранников, которые первым исследовал и описал Платон, живший в V – IV веках до н.э. Поэтому эти многогранники называют также «Платоновы тела».

Поверхности являются самым сложным геометрическим объектом, изучаемым начертательной геометрией и инженерной графикой. Мир поверхностей безграничен. Он простирается от простейшей плоскости до причудливых поверхностей, используемых в архитектуре и скульптуре, от элементарного цилиндра до сложнейших по форме деталей авиадвигателя и т.п. Все, что нас окружает дома, машины, люди и т.д. – принадлежит к миру поверхностей. Поверхности в нашей жизни играют очень важную роль, особенно для инженера-конструк­тора, который должен знать и уметь, как сконструировать поверхность, чтобы она отвечала заранее заданным требованиям. А эта задача весьма трудоемка и часто бывает нелегко найти правильное решение. Рассмотрим некоторые общие вопросы образования и задания поверхностей, которые необходимо знать проектировщику при решении практических задач.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная в процессе вращения некоторой линии вокруг неподвижной оси. Линия, которая вращается, называется образующей поверхности. Образующая линия может быть прямой, плоской или пространственной кривой. Каждая точка образующей линии поверхности (например, точка В) при своём вращении будет описывать окружность с центром на оси i, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис.10.1). Такие окружности называются параллелями. Наибольшая параллель называется экватором, наименьшая – горлом

Нам необходимо строить плоскостные модели пространств и по ним уметь решать разнообразные пространственные задачи. Если трёхмерные пространственные формы сформированы на двухмерной плоскости - это чертёж. Чертёж - это определённая совокупность точек и линий на плоскости. Начертательная геометрия занимается построением чертежей пространственных форм и отношений. Какие же двухмерные чертежи могут быть моделями, которые бы отображали свойства пространства, пространственные формы и отношения?
Определить линию пересечения конической и топографической поверхности