Прямые частного положения. Поверхности второго порядка Способ вращения Построить пересечение конуса и призмы примеры выполнения заданий контрольной работы Плоскость общего положения на комплексном чертеже http://export-base.ru/ как получить коды статистики из росстата.

Начертательная геометрия Задачи и примеры

Если начертательная геометрия как предмет возникла из нужд практики и в середине XIX века она расширила свои разделы, то к началу XX века аналитические методы, применённые в начертательной геометрии, вышли на первый план, точность графических методов не удовлетворялась и начертательная геометрия пошла на убыль. Последними книгами были книги Н.А. Рышина (1877-1942) и В.О. Гордона.

Плоскости частного положения на комплексном чертеже

 К плоскостям частного положения относятся плоскости перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций.

 Плоскость перпендикулярная какой–либо плоскости проекций называется проецирующей. Перпендикулярная к плоскости П1 – называется горизонтально проецирующей, перпендикулярная к плоскости П2 – называется фронтально проецирующей, перпендикулярная к плоскости П3 – называется профильно проецирующей.

 Рассмотрим свойства проецирующих плоскостей на примере горизонтально проецирующей плоскости Σ (рис.4.9).

 1. Горизонтальной проекцией плоскости является прямая, совпадающая с её горизонтальным следом.

 2. Фронтальной проекцией плоскости является все поле точек П2.

 3. Фронтальный след плоскости перпендикулярен к оси x12.

 4. Угол образованный горизонтальной проекцией плоскости Σ1 и осью x12 (угол β) равен углу наклона плоскости Σ к фронтальной плоскости проекций П2.

 5. Горизонтальные проекции любых точек, линий и фигур, лежащих в плоскости, проецируются на горизонтальный след этой плоскости (собирательное свойство).

Рис.4.9. Горизонтально проецирующая плоскость

  Аналогичными свойствами обладают фронтально и профильно проецирующие плоскости. На рис.4.10 построен комплексный чертеж фронтально проецирующей плоскости Σ.

Рис.4.10. Фронтально проецирующая плоскость

  Плоскость параллельная какой-либо плоскости проекций называется плоскостью уровня, так как все точки этой плоскости одинаково удалены от соответствующей плоскости проекций. Плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций П1 называется горизонтальной плоскостью уровня; параллельная фронтальной плоскости проекций П2 – фронтальной плоскостью уровня; параллельная профильной плоскости П3 – профильной плоскостью уровня. Любая плоскость уровня является в тоже время проецирующей плоскостью. А значит, на них распространяются рассмотренные выше свойства проецирующих плоскостей. В частности, плоскость уровня на комплексном чертеже задаётся одной своей проекцией – прямой линией, являющейся следом этой плоскости. На рис.4.11 приведены комплексные чертежи горизонтальной плоскости уровня Η и фронтальной плоскости уровня Γ.

Рис.4.11. Горизонтальная Н и фронтальная Г плоскости уровня

3. Точка в плоскости

 Условие принадлежности точки плоскости следующее: точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. Поэтому для построения точки на плоскости необходимо в плоскости взять вспомогательную прямую и расположить проекции точки на одноименных проекциях этой прямой.

На рис.4.12 показано построение произвольной точки К, лежащей в плоскости Σ(ΔАВС). В качестве вспомогательной прямой проведена горизонтальная прямая уровня, проходящая через вершину А (для этой цели можно воспользоваться любой другой прямой, если по условию задачи этот вопрос не оговаривается). Построение начато на фронтальной плоскости, т.к. фронтальная проекция горизонтали h2 проходит параллельно оси x12. Для построения горизонтальной проекции горизонтальной прямой уровня необходимо отметить точку 12 пересечения горизонтали со стороной ВС и перенести её с помощью вертикальной линии связи на В1С1. Получим точку 11. Горизонтальная проекция горизонтали будет проходить через точки А1 и 11. Затем произвольно на h2 располагаем фронтальную проекцию искомой точки К2. Горизонтальная проекция К1 будет лежать на горизонтальной проекции горизонтали h1 на одной вертикальной линии связи с точкой К2.

Рис.4.12. Построение точки в плоскости

4. Прямая в плоскости

Как известно, прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Из всего многообразия прямых, лежащих в плоскости общего положения, наибольший практический интерес представляют прямые уровня плоскости и прямые наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Через каждую точку плоскости проходит одна горизонталь, одна фронталь, одна профильная прямая уровня.

На рис.4.13 показано построение прямых уровня плоскости Σ(ΔАВС), проходящих через точку К. Сначала через вершину А проведём горизонталь h (h2||x12), а затем через вершину В фронталь f (f1||x12). Построенные горизонталь и фронталь пересекаются в некоторой точке, которую обозначим К. Через эту точку проведём и профильную прямую уровня р, горизонтальная и фронтальная проекции которой лежат на одной вертикальной линии связи. Для однозначного задания прямой р необходимо обозначить точки её пересечения со сторонами АВ (точка 3) и АС (точка 4) треугольника АВС.

Рис.4.13. Построение прямых уровня плоскости

  Необходимо отметить, что прямые уровня плоскости параллельны соответствующим следам этой плоскости. Так горизонталь параллельна горизонтальному следу, фронталь – фронтальному следу, профильная прямая – профильному следу плоскости. Поэтому следы плоскости иногда называют нулевыми прямыми уровня (например, горизонтальный след – нулевая горизонталь, фронтальный след – нулевая фронталь), показывая тем самым, что следы плоскости есть не что иное, как соответствующая прямая уровня с нулевой высотой, глубиной или широтой.

 Прямой наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций называется прямая, перпендикулярная к прямой уровня плоскости. Своё название прямые наибольшего наклона плоскости получили потому, что они со своей проекцией на указанную плоскость проекций образуют линейный угол, который определяет величину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций. Так прямая наибольшего наклона плоскости к плоскости П1 (она также называется прямой ската плоскости, т.к. материальная точка движется в плоскости по этой линии), перпендикулярная горизонталям плоскости, определяет угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций П1; прямая наибольшего наклона плоскости к плоскости П2, перпендикулярная фронталям плоскости, определяет угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций П2; прямая наибольшего наклона плоскости к плоскости П3, перпендикулярная профильным прямым уровня плоскости, определяет угол наклона плоскости к профильной плоскости проекций П3. Поэтому нахождение двугранного угла между плоскостью общего положения и плоскостью проекций может быть сведено к измерению угла между соответствующей прямой наибольшего наклона плоскости и её проекцией на выбранную плоскость проекций. На рис.4.14 показано нахождение угла наклона плоскости Σ(ΔАВС) к плоскости проекций П1 (использовалось правило прямоугольного треугольника).

Рис.4.14. Нахождение угла наклона плоскости Σ(ΔАВС)

  к плоскости проекций П1

 На комплексном чертеже построение начинаем с выбора произвольной точки D, лежащей на стороне АВ плоскости Σ. Через эту точку необходимо провести линию наибольшего наклона плоскости Σ к плоскости П1. Как было отмечено выше, такая прямая проходит перпендикулярно горизонталям плоскости, а значит, и горизонтальному следу этой плоскости, который, в данном случае, является стороной АС треугольника АВС. Прямой угол с горизонталью сохраняется на плоскости П1 (см. тему 3). Поэтому через D1 проводим горизонтальную проекцию линии ската до пересечения с прямой А1С1 в точке Е1. Фронтальная проекция найденной точки Е2 определяется с помощью вертикальной линии связи на фронтальной проекции А2С2. Соединив между собой D2 и С2, получим фронтальную проекцию линии наибольшего наклона плоскости Σ к плоскости П1. Для нахождения угла наклона плоскости Σ к плоскости П1 необходимо найти натуральную величину отрезка DE построенной линии ската. В данном случае воспользуемся правилом прямоугольного треугольника. Отложим от точки Е1 Δh – разность высот точек D и Е. Получим точку D*, соединив которую с точкой D1, определим гипотенузу прямоугольного треугольника. Угол между гипотенузой D1D* и прилегающим катетом D1E1 и будет являться искомым углом наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости проекций П1.

С появлением трудов Н.Ф. Четверухина (1891-1973) начертательная геометрия была выведена из застоя. Н.Ф. Четверухин стал рассматривать начертательную геометрию как самостоятельную науку (не связанную с черчением). Он первый увидел, что методами начертательной геометрии можно решать сложные конструктивные задачи. Появилась "Прикладная геометрия" и начался её расцвет. За период с конца 40-х годов начертательная геометрия развивалась и расширялась.
Построить линию пересечения полуцилиндра конусом вращения